Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих



1. Основы математической статистики


Есть правда, есть большая правда, а есть статистика на Матпрофи.ру!

1.1. Понятие предмета

Математическая статистика следует «вторым эшелоном» за теорией вероятностей, и это не случайность, а логическое продолжение. Отличие состоит в том, что теорвер даёт теоретическую оценку случайным событиям, а статистика работает с практическими или как говорят, эмпирическими данными, которые берутся непосредственно «из жизни».

Что изучает матстат?

Если кратко, то математическая статистика изучает методы сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов.

Статистическая – это та, которую можно выразить числами. Эта информация появляется в результате исследования массовых (обычно) явлений, которые носят случайный характер. Она может быть изначально числовой (например, длина чего-либо) или иметь качественную первооснову – «оцифровке» поддаётся даже доброта котиков.

Немедленный пример. Что главное орудие физика? Секундомер:

Пример 1

Студент Константин выполняет лабораторную работу по определению коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

…спокойствие, тут будет всего несколько чисел :) 

Экспериментальная часть этой работы состоит в том, что в высокий цилиндрический сосуд с жидкостью сбрасывается достаточно маленький и тяжёлый шарик, после чего замеряется время его погружения.

Время погружения шарика зависит от множества случайных факторов: прямоты рук экспериментатора, погрешности измерения времени, хаотичного движения молекул жидкости и т.д., вплоть до влияния Луны. Поэтому эксперимент  целесообразно провести 5-10 раз (как оно обычно и требуется).

Предположим, что в результате 5 опытов получены следующие результаты:

        (в секундах)

Что произошло? Студент Костя собрал статистические данные. Они эмпирические (взяты непосредственно из опытов), носят случайный характер (см. выше). И массовый. Ведь все однокурсники только и занимаются тем, что бросают в сосуды шарики, да и мало ли на Земле похожих шариков, которые тонут в похожей жидкости.

Ну а мы потихоньку погружаемся в терминологию:

Полученные экспериментальные значения называются вариантами, а их совокупность – вариационным рядом. Почему так? Потому что полученные значения варьируются под воздействием случайных факторов.

Справка: варианта (существительное женского рода) – в статистике означает отдельно взятое эмпирическое значение.

Далее. Далее Константин должен обработать полученные данные. Во-первых, посмотреть, а нет ли среди них варианты, которая сильно отличается от всех остальных? Наличие такого значения сигнализирует о том, что соответствующий опыт проведён неудачно и его следует исключить из рассмотрения.

Нет, все значения достаточно близкИ друг к другу, и теперь напрашивается вычислить  среднюю величину – разделить сумму значений на их  количество:
 секунды.

Это значение называют простой средней или, как многие знают, средним арифметическим. Его стандартно обозначают с чёрточкой наверху.

Справка на всякий случай: математический значок означает суммирование, а переменная  играет роль «счётчика»; в данном случае  изменяется от 1 до 5.

Если грызут сомнения на счёт точности, то лучше не полениться и провести 10 опытов, что, кстати, удобнее в плане вычислений (на 10 делить проще). И, разумеется, полученный результат будет надёжнее, чем в 1-м случае.

Всё. Статические данные обработаны, осталось сделать выводы. А именно, с помощью значения  вычислить коэффициент вязкости жидкости и ещё там вроде что-то, желающие могут найти эту лабу в Сети.

…Возможно, у вас возник вопрос, а почему я выбрал такой пример? Это немногое, что мне запомнилось из институтского курса физики :)

Пример 2

Студенческая группа сдала коллоквиум по матанализу со следующими результатами:

Требуется определить среднюю успеваемость группы

Сбором статистических данных здесь занимался преподаватель, и обратите внимание на их характер: они эмпирические, массовые (громко, конечно, сказано, но таки массовые) и отчасти случайные. Кому-то повезло с вопросом, кому-то нет, кто-то что-то вспомнил / забыл, списал, выпил, прогулял и так далее…, прямо какое-то броуновское движение студентов J

Как нетрудно понять, роль вариант  здесь играют полученные оценки, а   – это соответствующие частоты – количество студентов, которые получили ту или иную оценку. Подсчитаем общую численность группы:
 человек и привыкаем к терминам: исследуемое множество называют статистической совокупностью, а его численность – объёмом совокупности.

Теперь обратим внимание на следующую вещь: двоечников и отличников у нас мало, а нормальных студентов :) много. И возникает вопрос: как вычислить «справедливую» среднюю оценку по всей совокупности? Решение напрашивается – с помощью так называемой средневзвешенной средней:

 – средняя успеваемость по группе.

…да, суровые у меня сегодня примеры :) Давайте проанализируем их принципиальные отличия:

1) В первом примере проводится статистическое исследование количественной величины (времени), а во втором «оцифровывается» и анализируется качественный признак (успеваемость).

2) В первой случае исследуемая величина непрерывна, и, строго говоря, все полученные значения различны (отличаются хоть какими-то миллисекундами). Во втором случае варианты дискретны, т.е. представляют собой отдельно взятые изолированные значения. Следует заметить, что они не обязаны быть целыми, так, например, можно ввести в рассмотрение оценки 2,5; 3,5 и 4,5. И у дискретной величины, как правило, есть неоднократно встречающиеся (одинаковые) варианты.

Ставлю важный подзаголовок и продолжаю:

1.2. Генеральная и выборочная совокупность

3) В первом примере речь идёт о выборке значений. Что это значит? Это значит, что шарик можно сбрасывать в воду гораздо бОльшее и теоретически вообще бесконечное количество раз. Таким образом, проведённые 5 опытов – есть, по сути, выборка, которую называют выборочной совокупностью. При этом соответствующее среднее значение принято называть выборочной средней.

Второй пример (с успеваемостью) отличен тем, что в нём исследуется ВСЯ совокупность, и поэтому её называют генеральной совокупностью, а соответствующее среднее значение – генеральной средней. Но такая ситуация редкость. Редко когда удаётся исследовать всю совокупность.

И сейчас мы подошли к краеугольному камню матстата:

1.3. Основной метод математической статистики

Задача

Федор пошёл на базу исследовать помидоры. Требуется определить среднюю массу помидора и среднюю долю первосортных помидоров.

Разбираемся в ситуации. Очевидно, что на базе находится очень и очень много помидоров, обозначим их общее количество через . Это генеральная совокупность объёма . Для того чтобы решить задачу, можно взвесить каждый овощ:  (в граммах, например) и вычислить генеральную среднюю:
 – среднюю массу помидора.

Но это долго и трудоёмко, даже если Феде будут помогать все его однокурсники.

Поэтому для оценки параметров генеральной совокупности целесообразно использовать выборочный метод.

Его суть состоит в том, что из генеральной совокупности достаточно выбрать
 объектов, которые хорошо характеризуют всю совокупность
.

Это «хорошо» называют представительностью или, как говорят буржуи, репрезентативностью выборки.

Проговорим сиё модное слово вслух: ре-пре-зен-та-тив-ность.

…Молодцы! А то некоторым студентам из года в год слышится «презервативы» J Радует, однако, что это не плохое слово :)

Что нужно для того, чтобы обеспечить репрезентативность?

Во-первых, выборка должна быть достаточно велика, помидоров так 500-1000 точно, что уже вполне по силам даже одному Феде.

Замечание: в дальнейшем мы сформулируем более строгие статистические критерии на счёт оптимального объёма выборки.

Во-вторых, отбор следует осуществлять равномерно – из каждого ящика.

В-третьих, отбор должен быть случайным. Для этого используются разные приёмы, самый простой из них – выбор «вслепую» из случайно выбранного места ящика, обязательно с разной глубины (а то мало ли что поставщик мог там спрятать).

…Да-да! Я буду обучать вас реальной статистике :)

И, в-четвёртых (а может быть, и, в-первых), есть и другие факторы. В частности, важно знать, а однородна ли генеральная совокупность? Так, если помидоры поступили от разных поставщиков, то каждую партию полезно исследовать по отдельности (сделать несколько независимых выборок).

Итак, пусть Фёдор по всем правилам выбрал  помидоров, и теперь дело за малым – взвесить каждый овощ:  (граммы) и вычислить выборочную среднюю:
 – среднюю массу помидора в выборке.

При этом очевидно, что чем больше объем  выборочной совокупности, тем  полученное значение  будет точнее приближать генеральную среднюю .

Но фишка состоит в том, что если начать увеличивать выборку в два, три и бОльшее количество раз, то будут получаться выборочные средние, которые мало отличаются от уже рассчитанного значения . Вы спрОсите, как это установлено? Эмпирически, в результате огромного количества проведённых исследований. А затем данный факт был подтверждён и теоретически.

Таким образом, нет никакого практического смысла тратить силы, время, нервы и деньги на исследование бОльшей выборки и тем более, всей генеральной совокупности.

Вот оно как – в статистике есть и прямая экономическая выгода!

И технический момент, обратите внимание на используемые буквы – они стандартны. Вместо «иксов» иногда используют «игреки», а вместо «эн» –   и . Иные буквы применяйте, только если их любит ваш преподаватель или они в вашей методичке.

Вторая часть задачи. Оценим вместе с Федей долю первосортных помидоров на базе. Для этого, разумеется, не нужно заново «шерстить» всю генеральную совокупность, анализируется та же самая выборка.

В отличие от первого пункта, здесь исследуется уже качественный признак, для которого, тем не менее, можно сформулировать чёткие критерии. Пусть первосортный помидор – это чёрный, лысый красный, спелый, без видимых дефектов, массой выше среднего. Совершенно понятно, что генеральная совокупность содержит  таких помидоров, и существует точное значение:
 – генеральная доля первосортных помидоров.

Однако по причине трудозатрат и нецелесообразности полного исследования, достаточно подсчитать количество  таких овощей в выборке и вычислить:
 – выборочную долю, которая будет близкА к истинному значению . Но это только, напомню, при условии грамотно организованной и проведённой выборки.

Доля, как вы догадываетесь, может принимать значения от 0 до 1, и нередко её домножают на 100, чтобы выразить этот показатель в процентах.

Готово.

Константин, Фёдор, спасибо за участие, а остальные, как в том анекдоте, поедут «на картошку»  :) В качестве разминки предлагаю вам задачу с тремя пунктами различного уровня сложности:

Пример 3

а) Урожайность картофеля по трём областям за ** год составила 147, 145, 155 ц/га. Требуется вычислить среднюю урожайность.

Метрическая справка: 1 центнер =  100 кг, 1 тонна = 1000 кг;
1 гектар (га) = 10000 квадратных метров;
показатель ц/га означает, сколько центнеров собрано в среднем с 1 гектара.

Вариация чуть сложнее:

б) Известны следующие данные по трём областям:

…Вы думаете, тут исследована вся генеральная совокупность?  Нет, эти циферки нарисовали чиновники для отчёта! – привыкайте к настоящей статистике:)))

Требуется вычислить среднюю урожайность.

И третий пункт, творческий:

в) Вычислить среднюю урожайность по следующим данным:

«Валовой» – это значит, всего собрано по области.

ДУМАЕМ, ВНИКАЕМ и РАССУЖДАЕМ – принцип здесь точно такой же, как и при решении задач по теории вероятностей. И не забываем приписывать к результатам размерность! (секунды, граммы и т.д., а в данном случае – ц/га). За сию небрежность вас накажут не только на физике ;)

Решения с пояснениями в конце книги.

В заключение вводной главы систематизируем самое важное:

Математическая статистика – это наука, изучающая методы сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов.

Основным методом математической статистики является выборочный метод, его суть состоит в исследовании представительной выборочной совокупности – для достоверной оценки совокупности генеральной. Данный метод экономит временнЫе, трудовые и материальные затраты, поскольку исследование всей совокупности зачастую затруднено либо невозможно.

Иногда матстат считают разделом математики. И это тоже правда! :) Желаю успехов в дальнейшем освоении курса! Вперёд без страха и сомнений:

2. Вариационные ряды

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.