1.1. Понятие вектора. Свободный вектор

Это «альфа» и «омега» аналитической геометрии.

Сначала вспомним школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , а концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку на другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института и выйти из дверей института – это две разные вещи.
Отдельные точки удобно считать так называемым нулевым вектором . У этого вектора начало и конец совпадают и его направление не определено.

Как многие помнят, в геометрии рассматривают векторы плоскости и векторы пространства, и излагаемые факты справедливы (если на сказано иного) как для плоскости, так и для пространства.

Обозначения: многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали: «там же вверху еще стрелку ставят»! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Такая привычка сложилась из практических соображений – слишком разнокалиберными и «мохнатыми» получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В некоторых источниках векторы выделяют жирным шрифтом:, подразумевая тем самым, что это вектор.

Со стилистикой разобрались и теперь о главном:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю.
Длина вектора обозначается знаком модуля: ,
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Свободный вектор – это множество сонаправленных отрезков равной длины:

Часто говорят, что «вектор, равный данному, можно отложить от любой точки», но далеко не все понимают настоящий смысл этого действия. С математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР. В чём состоит свобода? В ходе решения задачи вы можете «пристроить» направленный отрезок в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. И это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» в любой точке плоскости или пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Ударьте кулаком по подушке и по кирпичу и почувствуйте разницу :). Кроме того, несвободные векторы рассматриваются и в некоторых разделах математики.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Вспоминаем ещё одно понятие:

1.2. Коллинеарность векторов

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин