Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



Аналитическая геометрия для «чайников»


Настоящая книга позволит вам в сжатые сроки (2-3 недели) освоить основы аналитической геометрии и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить минимум теории и максимум  практики

Сначала немного о предмете…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает «аналитическая»? На ум сразу приходят два «штампованных» математических оборота: графический метод решения и аналитический метод решения.

Графический метод связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решения многих задач аналитической геометрии  прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

1. Векторы

1.1. Что такое вектор?
1.2. Коллинеарность векторов
1.3. Основные действия с векторами
1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве
1.5. Простейшие задачи с векторами
1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?
1.5.2. Как найти длину отрезка?
1.5.3. Как найти длину вектора?
1.5.4. Действия с векторами в координатах
1.5.5. Как найти единичный вектор
1.5.6. Деление отрезка в данном отношении
1.5.7. Формулы координат середины отрезка
1.6. Скалярное произведение векторов
1.6.1. Определение скалярного произведения
1.6.2. Угол между векторами и знак скалярного произведения
1.6.3. Скалярный квадрат вектора
1.6.4. Свойства скалярного произведения
1.6.5. Как найти угол между векторами?
1.6.6. Скалярное произведение векторов в координатах
1.6.7. Как проверить векторы на ортогональность?
1.6.8. Если векторы заданы суммами векторов с известными координатами
1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?
1.7. Ортогональные проекции векторов
1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?
1.7.2. Проекции вектора на координатные оси. Направляющие косинусы
1.8. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Базис векторов. Аффинная система координат.

1.8.1. «Плоский» случай
1.8.2. Как определить коллинеарность векторов плоскости?
1.8.3. Как определить коллинеарность векторов пространства?
1.8.4. Базис и система координат пространства
1.9. Векторное произведение векторов
1.9.1. Определение векторного произведения
1.9.2. Свойства векторного произведения
1.9.3. Векторное произведение в координатах
1.10. Смешанное произведение векторов
1.10.1. Определение смешанного произведения
1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?
1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

2. Прямая на плоскости

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
2.2. Общее уравнение прямой
2.2.1. Общее уравнение и направляющий вектор прямой
2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
2.2.3. Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?
2.2.5. Нормальный вектор прямой
2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?
2.3. Уравнение прямой в отрезках
2.4. Параметрические уравнениЯ прямой
2.5. Простейшие задачи с прямой на плоскости
2.5.1. Взаимное расположение двух прямых
2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?
2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?
2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?
2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой.
Как найти точку, симметричную относительно прямой?

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?
2.5.7. Как найти угол между прямыми?
2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?
2.6. Линейные неравенства
2.7. Системы линейных неравенств
2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?
2.9. Типовая задача с треугольником

3. Линии второго порядка

3.1. Алгебраическая линия и её порядок
3.2. Классификация линий второго порядка
3.3. Эллипс
3.3.1. Каноническое уравнение эллипса. Как построить эллипс?
3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса
3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл
3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса
3.4. Гипербола
3.4.1. Каноническое уравнение и построение гиперболы
3.4.2. Определение гиперболы
3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы
3.4.4. Равносторонняя гипербола
3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы
3.5. Парабола
3.5.1. Построение, уравнение, определение, фокусы, директриса, эксцентриситет
3.5.2. Поворот и параллельный перенос параболы
3.6. Неравенства с линиями второго порядка
3.7. Задачи с линиями второго порядка
3.7.1. Директрисы эллипса
3.7.2. Директрисы гиперболы
3.8. Приведение уравнения к каноническому виду
3.8.1. Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов
3.8.2. Приведение уравнения нецентральной линии
3.8.3. Универсальный метод приведения

4. Полярная система координат

4.1. Что такое полярные координаты?
4.2. Порядок и техника построения точек в полярных координатах
4.3. Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат
4.4. Уравнение линии в полярных координатах
4.5. Полярная роза
4.6. Как построить линию в полярных координатах?

5. Плоскость и прямая в пространстве

5.1. Плоскость и её уравнение
5.1.1. Понятие плоскости
5.1.2. Общее уравнение плоскости
5.1.3. Линейные неравенства в пространстве
5.1.4. Как построить плоскость?
5.1.5. Уравнение плоскости в отрезках
5.2. Как составить уравнение плоскости?
5.2.1. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам
5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?
5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)
5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
5.3. Простейшие задачи с плоскостью
5.3.1. Как найти плоскость, параллельную данной?
5.3.2. Как найти расстояние от точки до плоскости?
5.3.3. Как найти расстояние между плоскостями?
5.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
5.3.5. Как найти угол между плоскостями?
5.3.6. Как найти плоскость, перпендикулярную данной?
5.3.7. Взаимное расположение трёх плоскостей
5.4. УравнениЯ прямой в пространстве
5.4.1. Канонические уравнения прямой
5.4.2. Как составить уравнения прямой по двум точкам?
5.4.3. Параметрические уравнения прямой
5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей
5.5. Задачи с прямой в пространстве
5.5.1. Взаимное расположение прямых
5.5.2. Скрещивающиеся прямые
5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?
5.5.4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве
5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?
5.5.7. Как найти расстояние от точки до прямой?
5.5.8. Как найти точку, симметричную относительно прямой?
5.5.9. Как найти угол между прямыми?
5.5.10. Параллельные прямые в пространстве
5.6. Основные задачи с прямой и плоскостью
5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости
5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?
5.6.3. Как найти проекцию прямой на плоскость?
5.6.4. Как найти угол между прямой и плоскостью?
5.6.5. Прямая перпендикулярна плоскости
5.6.6. Прямая параллельна плоскости
5.6.7. Добро пожаловать в «реальные боевые условия»!
5.7. Задача с треугольной пирамидой

6. Поверхности второго порядка

6.1. Понятие алгебраической поверхности
6.2. Цилиндрические поверхности
6.3. Эллипсоид
6.4. Коническая поверхность
6.5. Параболоиды
6.6. Гиперболоиды
6.7. Альтернативные системы координат
6.7.1. Цилиндрическая система координат
6.7.2. Сферическая система координат

7. Решения и ответы, а также Приложения доступны в полной версии.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.