Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Уравнение прямой, которая проходит через точки , можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность уравнения , и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой, а отыскивается он по элементарной формуле .
Примечание: точки можно поменять местами: . Такое решение будет равноценным.

Задача 65

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение: используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

и перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае следует умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

– верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

– верное равенство.

Вывод: уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что это как раз тот случай, где графическая проверка затруднительна, поскольку построить прямую , и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. В данной задаче несколько выгоднее воспользоваться «зеркальной» формулой и по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, а нельзя ли его ещё упростить? Так, если получилось уравнение , то его целесообразно сократить на двойку: – это уравнение будет задавать ту же самую прямую (подумайте, почему).

Получив ответ в Задаче 65, я на всякий случай мысленно проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Задача 66

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу, если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. Задачи 63-64).

2.2.5. Нормальный вектор прямой

2.2.3. Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин