1.6.2. Угол между векторами и знак скалярного произведения

В Задаче 15 скалярное произведение получилось положительным, а в Задаче 16 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса:

1) Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то и скалярное произведение будет положительным: . Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой: (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: . Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: (180 градусов). Скалярное произведение здесь тоже отрицательно, так как .

Справедливы и обратные утверждения:

Если , то угол между данными векторами острый, как вариант, векторы сонаправлены. Если , то угол между данными векторами тупой, как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой: (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю: . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись: (т.е. из одного следует другое).

Третий случай имеет большую практическую значимость, поскольку позволяет выяснить, ортогональны векторы или нет.

1.6.3. Скалярный квадрат вектора

1.6.1. Определение скалярного произведения

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин