Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

Ответим на этот (и не только) вопрос на конкретном примере, я постарался собрать в одной задаче всё, что связано с этой точкой:

Задача 162

Дана прямая и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;
б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую провести плоскость , перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой на плоскость ;

д) найти угол между прямой и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)
…и осталось тут ещё местечко на странице, поэтому давайте улыбнёмся друг другу :) :) и продолжим. Хотя, штанга не располагает к улыбкам :)

Решение: сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.

б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но я тоже надеюсь:

Приём решения стандартен и неоднократно применялся в предыдущем параграфе. Сначала перепишем уравнения прямой в параметрической форме:

Точка принадлежит данной прямой, поэтому её координаты при некотором значении параметра удовлетворяют параметрическим уравнениям:
, или одной строчкой: .

С другой стороны, точка принадлежит и плоскости , следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению , то есть должно выполняться равенство:
– ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в уравнение плоскости.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»:

– полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения координат нашей точки:

Самостоятельно выполните устную проверку – подставьте координаты точки в уравнение плоскости и в уравнения прямой. Они должны «подойти» и там и там.

в) Найдём уравнение плоскости («омега»), которая перпендикулярна плоскости и проходит через прямую . Задача весьма напоминает Задачу 142, где мы рассмотрели построение перпендикулярной плоскости, проходящей через две точки.

Выполним схематический чертёж:

Уравнение плоскости можно составить по любой точке, которая принадлежит прямой , направляющему вектору прямой и вектору нормали плоскости .

В качестве точки, принадлежащей прямой «дэ», не возбраняется, конечно, взять найденную в предыдущем пункте точку пересечения , но в произвольной практической задаче она чаще всего не известна. Поэтому обычно используют самую «лёгкую добычу». В данном случае, очевидно, точку:
.

Уравнение плоскости «омега» составим по точке и двум неколлинеарным векторам :

Таким образом:

Проверка опять же простая:

1) Мысленно вычислим скалярное произведение нормальных векторов двух плоскостей. Оно равно нулю, значит, плоскости перпендикулярны.

2) Теперь нужно убедиться, что прямая «дэ» действительно лежит в найденной плоскости «омега». Можно использовать типовой алгоритм, но тут есть быстрое решение – устно подставляем координаты двух известных точек в полученное уравнение плоскости . Обе точки «подходят», и это гарантирует, что и вся прямая лежит в плоскости .

5.6.3. Как найти проекцию прямой на плоскость?

5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин