Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)


Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением  в прямоугольной (!) системе координат, то вектор  является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора  – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут :)  – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

 – получено верное равенство, значит, точка  лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.