Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



1.6.7. Как проверить векторы на ортогональность?


Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю, что векторы  и  ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:
 (для векторов плоскости);
 (для векторов пространства).

Задача 24

а) Проверить ортогональность векторов:  и 

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки , если , .

Решение:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Для этого вычислим их скалярное произведение:
, следовательно,

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости. Отрезки обычные, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:

и вычислим их скалярное произведение:
, следовательно, векторы  и  не перпендикулярны, а значит, не перпендикулярны и отрезки .

Ответ: а) ,      б) отрезки  не перпендикулярны.

Задача 25

Даны 4 точки пространства  и . Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые:
а) ,    б) .

Это задача для самостоятельного решения. По условию требуется проверить перпендикулярность прямых, а решаем снова через векторы – по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно: из ортогональности векторов автоматически следует перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.

Мощь аналитической геометрии – в векторах

Так, в рассмотренных задачах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачку, которая время от времени встречается на практике:

Задача 26

При каком значении  векторы  будут ортогональны?

Решение: по условию требуется найти такое значение параметра , чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства  ортогональны тогда и только тогда, когда .

Дело за малым, составим уравнение:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Решаем простейшее линейное уравнение:

Ответ: при

Здесь легко выполнить проверку, в исходные векторы  подставляем полученное значение параметра :

и находим скалярное произведение:
 – да, действительно, при  векторы  ортогональны, что и требовалось проверить.

Простенький пример для самостоятельного решения:

Задача 27

При каком значении  скалярное произведение векторов  будет равно –2?
Едем дальше:

1.6.8. Если векторы заданы суммами векторов с известными координатами

1.6.6. Скалярное произведение векторов в координатах

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.