1.6.8. Если векторы заданы суммами векторов
с известными координатами

Геометрическое масло-масляное:) И мы полакомимся:

Задача 28

Найти скалярное произведение векторов , если .

Решение: напрашивается недавняя трафаретная схема, где мы составляли произведение и раскрывали скобки: . Но сейчас нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато известны координаты. И решение на самом деле очень простое.

Найдём вектор :

Проделаны элементарные действия с векторами.

Теперь вычислим скалярное произведение:

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Задача 29

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. И в заключение пункта провокационный пример на вычисление длины вектора:

Задача 30

Найти длины векторов , если

По «горячему» материалу и недавним задачам здесь снова напрашивается путь: , и да, можно найти длины, скалярное произведение…, но зачем нам эти трудности?

Ищите и выбирайте лёгкие решения!

И решение элементарно, найдём вектор :

и его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли нам очевидным фактом? Ведь вектор в 5 раз длиннее вектора . Направление противоположно, но это не играет роли, ибо разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
(знак модуля «съедает» возможный минус числа ).