1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Возвращаемся к нашим треугольникам:

Задача 31

Даны три вершины треугольника . Найти .

Решение: по условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: , и дальнейшее понятно. Найдём векторы и их длины:

Вычислим скалярное произведение:

Таким образом:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую «чайникам». Более подготовленные читатели могут записать вычисления «одной строкой»:

Косинус получился «плохим» (не табличным), однако, это не окончательный ответ задачи, и поэтому, к слову, не имеет особого смысла избавляться от корня в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки можно использовать Алгебраический Калькулятор (см. Приложения) или даже измерить угол транспортиром (у кого он есть). Только не повредите покрытие монитора =)

Ответ:
В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.