Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?


Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами  выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости  и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Возвращаемся к нашим треугольникам:

Задача 31

Даны три вершины треугольника . Найти .

Решение: по условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Из чертежа совершенно очевидно, что угол  треугольника совпадает с углом между векторами  и , иными словами: , и дальнейшее понятно. Найдём векторы и их длины:

Вычислим скалярное произведение:

Таким образом:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую «чайникам». Более подготовленные читатели могут записать вычисления «одной строкой»:

Косинус получился «плохим» (не табличным), однако, это не окончательный ответ задачи, и поэтому, к слову, не имеет особого смысла избавляться от корня в знаменателе.

Найдём сам угол:  

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки можно использовать Алгебраический Калькулятор (см. Приложения) или даже измерить угол транспортиром (у кого он есть). Только не повредите покрытие монитора =)

Ответ:
В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ:  и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Задача 32

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин , . Найти угол между сторонами  и

Это пример для самостоятельного решения, и, конечно же, задачка творческая, повторяем взаимосвязь между углом и знаком скалярного произведения:

Задача 33

При каком значении  угол между векторами  будет: а) острым, б) прямым, в) тупым?

Решение и ответ в конце книги.

Следующий небольшой параграф будет посвящен ортогональным проекциям векторов, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?

1.6.8. Если векторы заданы суммами векторов с известными координатами

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.