1.6.5. Как найти угол между векторами?

Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
, а части поменяем местами:

В чём смысл этой формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол – с помощью обратной функции .

Задача 21

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по соответствующей тригонометрической таблице (см. Приложение Тригонометрия). Но гораздо чаще появляется какой-нибудь неуклюжий медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор.

Ответ:

Опять – не забываем указывать размерность, радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Задача 22

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .