Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.6.4. Свойства скалярного произведения

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения относительно множителя (константу можно вынести из скалярного произведения)

Зачастую всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного – все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко «наломать дров». Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов. Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся, как минимум, нужно вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Задача 17

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что

Решение: сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Такая же история с вектором – это сумма векторов и

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Поставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивное свойство, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов: чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата . В последнем слагаемом работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем исходные данные и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Задача 18

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Задача 19

Найти длину вектора , если .

Сначала решение, затем комментарии:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы :
– обратите внимание, как она здесь любопытно сработала, фактически это квадрат разности , и, по сути, так оно и есть. Переставим векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.