Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.9.1. Векторное произведение векторов. Определение и его смысл

Данная операция определена для двух пространственных векторов, пусть это будут нетленные буквы .

Обозначение: , существуют и другие варианты

И сразу вопрос: в чём отличие векторного произведения от произведения скалярного? Явное отличие, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

– Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

– Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР:
, то есть, умножаем векторы и получаем снова вектор.

В учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение: векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию.
Разберём определение «по косточкам»:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не коллинеарны.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке: – «а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3)Геометрический смысл векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА «синего» вектора численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом. Длина «малинового» вектора , естественно, равна этой же площади.

Примечание: чертёж является схематическим, и поэтому номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. Что это значит? Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором , а безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет «смотреть» вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он).
Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором , а средний – с вектором . При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис .
Говорят, что эти базисы ориентируют пространство в разные стороны, и это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало: если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом», ибо «лево» и «право» поменяются местами. Проверьте на собственном отражении!

Итак, определение разобрано и осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой, и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180 градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то с очевидной длиной . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Справедливо и обратное: если , то – и этот факт используют для проверки векторов на коллинеарность.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

Ну что же, разжигаем огонь практики:

Задача 46

а) Найти длину векторного произведения векторов и , если .

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

Нет, это не опечатка! – исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Чтобы подчеркнуть отличие в решениях:

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Для нахождения значений синуса удобно использовать соответствующую Тригонометрическую таблицу (см. Приложение Тригонометрия).

Ответ:

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формируем чёткий ответ! В противном случае задание с высокой вероятностью вернётся на доработку, но это ещё не самое плохое. У рецензента может сложиться впечатление, что человек плохо разобрался в теме и его бы надо допросить с пристрастием :). Об этом нужно помнить, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Типовая задача для самостоятельного решения:

Задача 47

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника дана в комментариях к определению векторного произведения (см. выше). Решение и ответ в конце книги.

Для решения других задач нам понадобятся:

1.9.2. Свойства векторного произведения

1.8.4. Базис и система координат пространства

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин