1.9.2. Свойства векторного произведения

Некоторые из них мы уже рассмотрели, но, тем не менее, включу их в данный список. Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – антикоммутативность векторного произведения; об этом свойстве я тоже рассказал выше. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы беспроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы. Как видите, с раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Задача 48

Найти , если

Решение: по условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ:

Пора подбросить дров в огонь…, а позже добавим уютную атмосферу и даже сказочных персонажей! – я глубоко убеждён, что высшую математику, тем более геометрию, нельзя излагать сухо и занудно!

Задача 49

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение: площадь треугольника рассчитывается по формуле , но загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает Задачи 17, 18 из темы Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов (каждый член одного многочлена нужно умножить на каждый член другого).

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2-3 можно выполнять за один шаг.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения: