1.9.3. Векторное произведение в координатах

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

В верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем их в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ».

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Что получается в результате раскрытия определителя? В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор:

Задача 51

Найти векторное произведение векторов и его длину.

Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), а во-вторых – его длину.

1) Найдём векторное произведение:

В результате получен вектор или .

Выполним проверку: по определению, вектор должен быть ортогонален векторам . Ортогональность векторов, как мы помним, проверяется с помощью скалярного произведения:

– если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора:

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 52

Даны векторы . Найти и вычислить .

Будьте внимательны!

Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:

Задача 53

Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же:

Ответ:

В рассмотренной задаче было не обязательно выбирать стороны , существует ещё два варианта. Решение допустимо провести через векторы либо . Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. …Почему именно эти стороны? Мысленно представьте или изобразите на черновике этот треугольник.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить , то получим противоположно направленный вектор , но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Задачах 51-52, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.