1.10.1. Смешанное произведение векторов.
Определение и смысл

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов пространства:

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Определение: смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок, и ниже я снова подробно разберу определение:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны (со случаем компланарности разберёмся отдельно)

2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению, смешанное произведение – это объём параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета; невидимые нам линии изображены пунктиром). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Не будем заново «париться» с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части определения состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

И ещё одна важная формула. В курсе геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

Тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Теперь случай компланарности. Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: .

1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?

1.9.3. Векторное произведение в координатах

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

1.10.1. Смешанное произведение векторов.Определение и смысл

1.10.1. Смешанное произведение векторов.
Определение и смысл