Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?


Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе  (правой ориентации), выражается формулой:

Утверждение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правоориентированный базис – это «привычный» базис, в котором мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении  выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя, при этом определитель (смешанное произведение) сменит знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:
, значение определителя от этого не изменится.

Как уже отмечалось, если векторы  компланарны, то

С такими определителями мы уже имели дело, когда проверяли, образуют ли три вектора базис. И теперь нам известен геометрический смысл: данный определитель равен объему параллелепипеда, построенного на векторах .

Закидываем остатки Буратино в огонь:

Задача 56

Даны векторы . Вычислить:

а) смешанное произведение векторов;

б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;

в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение прозрачно:

а) По формуле смешанного произведения:

(определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю их смешанного произведения:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ:

Следующая задача встречается так часто, что удостаивается отдельного параграфа:

1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

1.10.1. Смешанное произведение векторов

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.