1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?

Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе (правой ориентации), выражается формулой:

Утверждение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правоориентированный базис – это «привычный» базис, в котором мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя, при этом определитель (смешанное произведение) сменит знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:
, значение определителя от этого не изменится.

Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то

С такими определителями мы уже имели дело, когда проверяли, образуют ли три вектора базис. И теперь нам известен геометрический смысл: данный определитель равен объему параллелепипеда, построенного на векторах .