Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.3. Основные действия с векторами

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами, и для начала мы повторим наиболее важные из них:

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти их сумму. В силу того, что все векторы свободны, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия.

Векторы перестановочны: – мысленно отложите вектор от конца вектора (см. рисунок выше), и вы поймёте, что получится тот же самый вектор .

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь по зигзагу, а может и на автопилоте по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём при векторы и сонаправлены, а при направлены противоположно.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то полученный вектор будет направлен в противоположную сторону – смотрим на векторы и .

2) Длина. Если множитель заключен в пределах , то длина вектора соразмерно уменьшается. Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз. Так, длина вектора в два раза больше длины вектора .

3) Очевидно, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор линейно* выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно линейно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

* Справка: линейно – это значит, через множитель-константу.

4) Векторы сонаправлены. Векторы и тоже сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве

1.2. Коллинеарность векторов

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин