Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



1.3. Основные действия с векторами


В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами, и для начала мы повторим наиболее важные из них:

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти их сумму. В силу того, что все векторы свободны, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего пути  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия.

Векторы перестановочны:  – мысленно отложите вектор  от конца вектора  (см. рисунок выше), и вы поймёте, что получится тот же самый вектор .

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь по зигзагу, а может и на автопилоте по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём при  векторы   и  сонаправлены, а при  направлены противоположно.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то полученный вектор будет направлен в противоположную сторону – смотрим на векторы  и .

2) Длина. Если множитель заключен в пределах , то длина вектора соразмерно уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз. Так, длина вектора  в два раза больше длины вектора .

3) Очевидно, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор линейно* выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно линейно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

* Справка: линейно – это значит, через множитель-константу.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  тоже сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве

1.2. Коллинеарность векторов

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.