1.5.4. Действия с векторами в координатах

Ранее мы рассмотрели правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассмотрели их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда нам известны координаты векторов в ортонормированном базисе либо :

1) Правило сложения векторов. Пусть есть два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить эти векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: .
Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор , и результат понятен:
Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , нужно каждую координату данного вектора умножить на число :
.
Для пространственного вектора правило такое же:

Задача 7

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

Коль скоро речь идет только о векторах, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну и координатную сетку для удобства. Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не нужно):

Задача 8

Даны векторы и . Найти и