Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



1.5.4. Действия с векторами в координатах


Ранее мы рассмотрели правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассмотрели их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда нам известны координаты векторов в ортонормированном базисе  либо :

1) Правило сложения векторов. Пусть есть два вектора плоскости  и . Для того, чтобы сложить эти векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: .
Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор , и результат понятен:
Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор  умножить на число , нужно каждую координату данного вектора умножить на число :
.
Для пространственного вектора  правило такое же:

Задача 7

Даны векторы  и . Найти  и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

Коль скоро речь идет только о векторах, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну и координатную сетку для удобства. Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не нужно):

Задача 8

Даны векторы  и . Найти  и

Решение: для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

И для самостоятельного решения занятный пример с векторами на плоскости:

Задача 9

Даны векторы . Найти  и

Решение и ответ в конце книги.

1.5.5. Как найти единичный вектор?

1.5.3. Как найти длину вектора?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.