Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.7.2. Проекции вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы

Рассмотрим вектор плоскости , заданный своими координатами в ортонормированном базисе . Для удобства я отложу его от начала координат:

Проекцией вектора  на координатную ось  является в точности его первая координата:  (красная черта). Обозначим через  угол между вектором  и координатным вектором :  (красная дуга). По определению косинуса:

Аналогично со второй координатой: проекцией вектора  на координатную ось  является его вторая координата:  (малиновая черта). Обозначим через  угол между вектором  и координатным вектором :  (двойная малиновая дуга). Тогда:

Косинусы  называются направляющими косинусами вектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство . Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора:
, что и требовалось проверить.

Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор  отложить от любой другой точки плоскости

Итак, направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы:
, то есть: .

Вектор же с координатами  – это в точности единичный вектор, сонаправленный с вектором .

С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе ,  разборки такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор . Его координаты представляют собой проекции вектора на оси  соответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через: . Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами:
,
при этом справедливо равенство .

Вектор  – есть единичный вектор, сонаправленный с вектором .
В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример параграфа:

Задача 36

Найти направляющие косинусы векторов:

а) , проверить, что ;

б) , проверить, что .

Направляющий косинусы можно найти по прямым формулам, либо сначала найти единичные векторы, и затем сослаться на тот факт, что их координаты – это соответствующие направляющие косинусы.

Решите эту задача самостоятельно! И, конечно, с проверкой, ибо без неё грех.

1.8.1. Базис и система координат на плоскости

1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.