Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



5.2.4. Как составить уравнение плоскости
по точке и вектору нормали?


Вытяните вперёд руку и мысленно зафиксируйте произвольную точку пространства… прямо, как Владимир Ильич Ленин :). Очевидно, что эта конструкция тоже однозначно определяет плоскость:

Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  , в декартовой системе координат выражается формулой:

Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. И поэтому если в какой-то задаче вам известен вектор нормали, то, конечно же, уравнение выгодно составлять через него.

Но ещё раз обращаю внимание, что формулы, касаемые вектора нормали, работают лишь  в декартовой системе координат, но не в общем аффинном случае.

 

Задача 135

Составить уравнение плоскости по точке  и вектору нормали .

Решение: используем формулу :

Ответ:

Проверка выполняется очень легко:

1) Из полученного уравнения  «снимаем» вектор нормали:  – всё хорошо, полученный вектор совпал с вектором из условия (в ряде случаев может получиться коллинеарный вектор).

2) Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

  – верное равенство, значит, точка  принадлежит данной плоскости.

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

Пример настолько прозрачен, что хочется немного завуалировать условие:

Задача 136

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно оси абсцисс.

Это задача для самостоятельного решения. Просто, но со вкусом.

И тема получает закономерное продолжение, рассмотрим простейшие задачи с плоскостью:

5.3.1. Как найти плоскость, параллельную данной?

5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.