5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2) прямая параллельна плоскости: ;

3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Это заметно проще, чем выяснить взаимное расположение двух прямых.Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос.

Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

1) Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор
не ортогонален нормальному вектору плоскости. Из этого следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах это условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю: , и прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Разграничим эти случаи:

2) Если прямая параллельна плоскости (рисунок внизу слева), то любая точка прямой не удовлетворяет уравнению плоскости: . Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается системой:

3) Если прямая лежит в плоскости (рис. справа) то любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости: , и аналитические условия данного случая запишутся системой:

Алгоритм выяснения взаимного расположения прямой и плоскости достаточно примитивен – всего в два шага. Кроме того, оформляя задачи, можно обойтись вообще без составления системы:

Задача 160

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором , и плоскости .

Решение: вытащим нормальный вектор плоскости: .

Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, данные векторы ортогональны и прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.