Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

5.5.1. Взаимное расположение прямых

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим общий алгоритм и две прямые:
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж, на котором в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые
Так как известны точки , то легко найти вектор .

1) Если прямые скрещиваются, то векторы не компланарны, а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов отлично от нуля:

Пусть . Это означает, что векторы компланарны, и вся конструкция «схлопнулась» в одну плоскость. Следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

2) Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются.

3-4) Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение другой прямой. Если координаты «подошли», то прямые совпадают, если нет – то прямые параллельны.

…Всё ли вам понятно? Если нет, то милости прошу по ссылкам, если да, то отработаем этот незатейливый алгоритм на конкретных практических примерах:

Задача 153

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений прямых их точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.
Следовательно, прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Получены неверные равенства, значит, точка «не подошла». Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ:

Интересный пример для самостоятельного решения:

Задача 154

Выяснить взаимное расположение прямых

Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это две различные прямые, и у каждой прямой свой параметр.

Решение и ответ в конце книги.

Далее мы по порядку рассмотрим задачи, «посвященные» скрещивающимся прямым, затем – пересекающимся, затем – параллельным и совпадающим:

5.5.2. Скрещивающиеся прямые

5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин