Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



5.5.2. Скрещивающиеся прямые


Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Задача 155

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние  между прямыми.

Дорогу осилит идущий, решение:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор .

Вычислим смешанное произведение векторов:
, таким образом, векторы   не компланарны, а значит, прямые  скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку  и  перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую  ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.
По условию прямая  должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор  будет ортогонален направл. векторам .

А это уже знакомый из Задачи 151 мотив, найдём их векторное произведение:

Уравения искомой прямой составим по точке   и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать уравнения в виде , но надобности в этом, опять же, особой нет.

Для проверки нужно подставить координаты точки  в полученные уравнения, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор  действительно ортогонален направляющим векторам  и .

5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?

5.5.1. Взаимное расположение прямых

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.