5.5.2. Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Задача 155

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Дорогу осилит идущий, решение:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор .

Вычислим смешанное произведение векторов:
, таким образом, векторы не компланарны, а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.
По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направл. векторам .

А это уже знакомый из Задачи 151 мотив, найдём их векторное произведение:

Уравения искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать уравнения в виде , но надобности в этом, опять же, особой нет.

Для проверки нужно подставить координаты точки в полученные уравнения, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам и .

5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?

5.5.1. Взаимное расположение прямых

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин