Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.7.2. Директрисы гиперболы

У гиперболы, как и у эллипса, две директрисы, и определяются они точно так же.

В каноническом положении директрисы расположены между ветвями гиперболы и задаются теми же уравнениями , где «эпсилон» – эксцентриситет данной гиперболы.

В нашей задаче:

Более того, для гиперболы справедлива абсолютно такая же теорема:

Гипербола – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния от каждой точки до фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету:

То есть, для любой точки гиперболы отношение её расстояния до фокуса к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы равно эксцентриситету: . Для пары и любой точки гиперболы (ради разнообразия я выбрал демонстрационную точку дальней ветви) отношение такое же:

К слову, у параболы с её единственным фокусом и единственной директрисой по определению эти длины относятся «один к одному», поэтому эксцентриситет любой параболы и равен единице.

Ответ: искомая линия представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке и повёрнутую на относительно своего канонического положения. Каноническое уравнение: , фокусы: , эксцентриситет: , асимптоты: , директрисы: .

Но я вас просто так не отпущу :) – всё-таки разберу второй способ приведения линии к каноническому виду. Осуществим поворот системы на угол радиан против часовой стрелки и её параллельный перенос в точку . Тогда в системе уравнение примет вид: .

Чертёж будет выглядеть точно так же, как и чертежи выше – с той поправкой, что гиперболу мы изобразим в системе . Соответственно, все вычисления будут проводиться в новых координатах, и переменные следует записывать со значком «тильда»: . В частности, асимптоты запишутся так: , а директрисы – так: .

Очень хотелось упростить и даже вообще не рассматривать эту задачу, но она взята из конкретной контрольной работы, причём, заочного отделения. Поэтому пришлось с упорным занудством разобрать все-все-все тонкости и технические приёмы.

Налью вам стакан молока за вредность и предложу задачу для самостоятельного решения, она проще:)

Задача 110

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Сделать точный чертеж.

Подумайте, о какой это точке и о какой прямой шепчет условие ;-) Краткое решение и чертёж в конце книги.

И теперь вы готовы! (в хорошем смысле:))

– готовы рассмотреть суперзадачу, к которой я вас морально и технически готовил чуть ли не с первых параграфов темы.

…анекдот тут ещё вспомнился садистский про готовку, но, пожалуй, не буду – он неэтичный :)

3.8. Приведение уравнения к каноническому виду

3.7.1. Директрисы эллипса

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин