Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.7.1. Директрисы эллипса

Да, они есть не только у параболы! – и эта прямая обрела тысячи горячих поклонников J. …Ну что же, шалуны, завидуйте, у эллипса их две!

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстоянии , где – большая полуось, а – эксцентриситет данного эллипса.

Директрисы лежат вне эллипса и в каноническом положении задаются уравнениями . Для нашего героя :

Так и есть, первая директриса полностью совпала с прямой . Более того, в условии задачи фактически сформулирован следующая теорема аналитической геометрии:

Эллипс – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния до каждой точки от фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету:
То есть, для любой точки эллипса отношение её расстояния до фокуса к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы в точности равно эксцентриситету:

Со вторым фокусом и директрисой история аналогичная, какую бы точку эллипса мы ни взяли – будет справедливо отношение: .

И не забываем об ответе: искомое геометрическое место точек представляет собой эллипс с фокусами , эксцентриситетом и директрисами , .

Похожий пример для самостоятельного решения:

Задача 108

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Выполнить чертеж. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы, если они существуют.

Повышаем техническую сложность и знакомимся с новым материалом:

Задача 109

Составить уравнение линии, для каждой из которых разность расстояний до точек и по модулю равна 8. Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж. Найти асимптоты, фокусы, эксцентриситет и директрисы, если они существуют.

…здесь уже из условия понятно, о какой кривой идёт речь ;)

Решение: пусть точка принадлежит искомой линии. Тогда:

По условию, или:

Корни? Модуль? ~~Застрелитесь!~~ Ерунда!

От модуля избавляемся немедленно:

Теперь нужно избавиться от радикалов. Возводить в квадрат сразу – идея плохая (можете попробовать), поэтому разведём корни по углам ринга:

Ну вот, теперь совсем другое дело, возводим обе части в квадрат:

Успехи есть, но один корень остался, да ещё и со знаком «+–». Оставим нашего зловреда в одиночестве и максимально упростим левую часть уравнения:

Возводим в квадрат обе части ещё раз, и заметьте, как попутно и совершенно спокойно исчезает знак «+–»:

Перебросим всё направо и «развернём» уравнение:

Получено уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Выделяем полный квадрат при переменной «игрек», для этого вынесем «минус девять» за скобку:

Далее внутри скобки искусственно добавляем +25 (в целях применения формулы на следующем шаге) и, чтобы уравнение не изменилось, за скобками нужно прибавить :

Хорошо осмыслите выполненное действие! – фишка распространённая.

Собираем квадрат разности и допиливаем константы:

Вот тебе и раз. По всем признакам мыльная опера должна была закончиться гиперболой , но у нас «лишний» минус. Выполним проверку и раскроем скобки (что желательно сделать в любом случае)… нет, всё верно – получается исходное общее уравнение .

Изменим знаки у обеих частей:

Уже ближе к правде, но «минус» оказался «не на своём месте». Из параграфа о повороте и переносе гиперболы вспоминаем, что это означает поворот данной кривой на 90 градусов относительно своего канонического положения.

Но давайте сначала доведём до ума уравнение. Делим обе части на 144:

и завершающий тонкий тюнинг:

– получены «хорошие» значения полуосей – отличный признак!
– вот она, долгожданная гипербола, удовлетворяющая условию задачи, которое фактически представляет собой… определение гиперболы!

Едем дальше:

По условию требуется сначала привести уравнение к каноническому виду, и только потом выполнить чертёж. Дабы не превысить точку кипения серого вещества, применим упрощенную схему. Однако случай всё равно не самый простой. Центр симметрии нашей подопечной находится в точке , и, кроме того, она повёрнута на 90 градусов вокруг этой точки

В «чайниковском» способе сначала удобно осуществить параллельный перенос линии в начало координат: . И только потом повернуть гиперболу на 90 градусов по часовой стрелке (относительно начала координат), при этом значения полуосей меняются местами, а знак «минус» переносится к переменной «игрек»: .

Если же сначала повернуть гиперболу вокруг точки , то уравнение запишется в виде , и после переноса получится тот же результат .

Не забывая про асимптоты , выполним чертёж:

Ещё раз, где изначально расположена гипербола? В точке (центр симметрии), ветви направлены вверх и вниз. И если по условию вам требуется построить график , то руководствуйтесь разобранным ранее алгоритмом.

Но работать гораздо удобнее с приведённым уравнением. Найдём фокусы:
– самостоятельно проанализируйте, что в неканоническом положении фокусы находятся в точках .

Вычислим эксцентриситет:

3.7.2. Директрисы гиперболы

3.7. Задачи с линиями второго порядка

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин