3.1. Алгебраическая линия и её порядок

И сразу разбираемся в терминах:

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида , где – действительное число, – целые неотрицательные числа.

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях (т.е. корней и переменных в знаменателе тоже нет).

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых . Так, в уравнении прямой :

– слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
– слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
– в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Максимальное значение равно 1, и поэтому прямая – это линия первого порядка.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид:
, где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Почему порядок этой линии равен двум?

– слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
– у слагаемого сумма степеней равна: 1 + 1 = 2;
– слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
– все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение 2, и поэтому порядок линии равен двум.

Если к этому уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общее уравнение линии третьего порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии четвёртого порядка, и так далее.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат. Ну а пока осваиваем порядок второй. Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости, и для простоты будем считать, что все события происходят в декартовой системе координат .

3.2. Классификация линий второго порядка

2.9. Типовая задача с треугольником

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин