Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



3.2. Классификация линий второго порядка


Вернёмся к общему уравнению  и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду: , и гипербола  с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае  не сразу сообразишь, что это гипербола. Поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду – виду, в котором  сразу понятно, что это за линия и как она выглядит.

И если любая линия 1-го порядка представляет собой прямую, то на втором этаже нас уже ждёт более разнообразная компания. С помощью специального комплекса действий (который мы освоим позже) общее уравнение линии второго порядка  приводится к одному из следующих видов ( и  – положительные действительные числа):

1)    – каноническое уравнение эллипса;

2)  – каноническое уравнение гиперболы;

3)   – каноническое уравнение параболы;

4)  – мнимый эллипс;

5)  – пара пересекающихся прямых;

6)  – пара мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат;

7)  – пара параллельных прямых;

8)  – пара мнимых параллельных прямых;

9)  – пара совпавших прямых.

Возможно, у вас сложилось впечатление неполноты списка. Например, в пункте 7 уравнение  задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно хоть и эквивалентно, но не считается каноническим. Прямые  представляют собой тот же самый случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись  в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий второго порядка, но особый интерес представляют эллипс, гипербола и парабола. Рассмотрим их по порядку:

3.3. Эллипс

3.1. Алгебраическая линия и её порядок

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.