3.2. Классификация линий второго порядка

Вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду: , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду – виду, в котором сразу понятно, что это за линия и как она выглядит.

И если любая линия 1-го порядка представляет собой прямую, то на втором этаже нас уже ждёт более разнообразная компания. С помощью специального комплекса действий (который мы освоим позже) общее уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов ( и – положительные действительные числа):

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат;

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

Возможно, у вас сложилось впечатление неполноты списка. Например, в пункте 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно хоть и эквивалентно, но не считается каноническим. Прямые представляют собой тот же самый случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий второго порядка, но особый интерес представляют эллипс, гипербола и парабола. Рассмотрим их по порядку:

3.3. Эллипс

3.1. Алгебраическая линия и её порядок

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин