Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямая – это одна из простейших геометрических фигур. Она бесконечна:

и обозначается маленькими латинскими буквами , как вариант,
с подстрочным индексом, например, . Также прямую можно обозначить двумя различными точками, которые ей принадлежат, например, .

Прямую часто задают уравнением, и начнём мы опять со школьного материала. Всем известное «школьное» уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Вспомним геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла (см. Приложение Тригонометрия) между положительным направлением оси и данной прямой: . Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых:

Это «красная» прямая с коэффициентом . Согласно вышесказанному, (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой).

Если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Так, для «черной» прямой тангенс угла наклона равен , а сам угол наклона составляет:
радиан или 45 градусов, что хорошо видно по чертежу. Значения углов можно находить по Таблице или с помощью Калькулятора (Приложения в помощь).

Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс. При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт «сверху вниз». Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт «снизу вверх». Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая. Неформальный смысл уравнения: «игрек» ВСЕГДА (при любом «икс») равен «бэ».

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), угловой коэффициент не определён. В данной ситуации , а тангенса угла 90 градусов не существует. Неформальный смысл уравнения: «икс» ВСЕГДА (при любом «игрек») равен «цэ».

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.

Рассмотрим прямые и . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.
В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой. Так, для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более пологая.

Зачем эта информация? ~~Продлить ваши мучения.~~ Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – когда на чертеже получилось явно «что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что прямая весьма крутА и идёт «снизу вверх», а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт «сверху вниз».

Сомневался, напоминать ли, но на всякий пожарный: как построить прямую, если известно её уравнение?

Для того чтобы построить прямую, нужно знать две её точки (любые). Их легко найти из уравнения. Рассмотрим, например, уравнение и выберем произвольное значение «икс», удобно взять , тогда: , и первая точка найдена: . Теперь выбираем другое значение , например, и находим – точка . Отмечаем точки на чертеже и аккуратно проводим линию по линейке.

Ах да, чуть не забыл: прямая вида называется прямой пропорциональностью. Она проходит через начало координат, и для её построения достаточно найти одну точку. На чертеже выше изображены две таких прямых + ось .

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Задача 59

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение: уравнение составим по формуле . В данном случае:

Ответ:

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

– получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод: уравнение найдено правильно.

Более хитрая задачка для самостоятельного решения:

Задача 60

Составить уравнение прямой, если известна её точка , а угол наклона к положительному направлению оси составляет .

Ну что же, прозвенел «последний звонок», отгремел выпускной бал (как это быстро у меня происходит :)), и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия:

2.2.1. Общее уравнение и направляющий вектор прямой

1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин