Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



3.3.1. Каноническое уравнение эллипса.
Как построить эллипс?


Во-первых, правописание….  Пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых юзеров, которые запрашивают «элипс», «эллибз» и даже «элебс» :) Эллипс.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где   – положительные действительные числа, причём . Определение эллипса я сформулирую чуть позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Задача 96

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Большое преимущество канонического уравнения  заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В нашем случае :
Число  называют большой полуосью эллипса;

число  – малой полуосью;

отрезок  называют большой осью эллипса;

отрезок  – малой осью.

Очевидно, что значения «а» и «бэ» (в нашем примере , ) вместе центром симметрии (в нашем примере ) однозначно определяют эллипс.

Всё выглядит красиво, ладно, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью Приложения Геометрический Калькулятор. И вы тоже можете так поступить. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хоровод мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас (правда, поменьше). Поэтому для ручного построения чертежа крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине замороченного алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо удобнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса  на черновике быстренько выражаем:
 

Далее уравнение распадается на две функции:
 – определяет верхнюю дугу эллипса;
 – определяет нижнюю дугу эллипса.

Каноничный эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично! – ибо работы будет в 4 раза меньше. Рассмотрим 1-ю координатную четверть, соответствующую функцию , и здесь напрашивается найти точки с абсциссами :

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу же выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки  (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:

Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу.

В результате должен получиться вполне симпатичный эллипс.

Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса

3.2. Классификация линий второго порядка

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.