3.3.1. Каноническое уравнение эллипса.
Как построить эллипс?
Во-первых, правописание…. Пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых юзеров, которые запрашивают «элипс», «эллибз» и даже «элебс» :) Эллипс.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид  , где  – положительные действительные числа, причём  . Определение эллипса я сформулирую чуть позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую
задачу:
Как построить эллипс?
Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с
чертежом:
Задача 96
Построить эллипс, заданный уравнением 
Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Зачем приводить? Большое преимущество канонического уравнения  заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках  . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению  .
В нашем случае  :
 Число  называют большой полуосью эллипса;
число  – малой полуосью;
отрезок  называют большой осью эллипса;
отрезок  – малой осью.
Очевидно, что значения «а» и «бэ» (в нашем примере  ,  ) вместе центром симметрии (в нашем примере  ) однозначно определяют эллипс.
Всё выглядит красиво, ладно, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью Приложения Геометрический Калькулятор. И вы
тоже можете так поступить. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хоровод мыши. Люди с художественным талантом,
конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас (правда, поменьше). Поэтому для ручного построения чертежа крайне желательно найти дополнительные
точки.
Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине
замороченного алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо
удобнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса  на
черновике быстренько выражаем:
Далее уравнение распадается на две функции:
 – определяет верхнюю дугу эллипса;
 – определяет нижнюю дугу эллипса.
Каноничный эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично! – ибо работы
будет в 4 раза меньше. Рассмотрим 1-ю координатную четверть, соответствующую функцию  , и здесь напрашивается найти точки с абсциссами  :
 Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка
в вычислениях, то это сразу же выяснится в ходе построения.
Отметим на чертеже точки  (красный цвет), симметричные точки на остальных
дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу.
В результате должен получиться вполне симпатичный эллипс.
Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?
 3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса
 3.2. Классификация линий второго порядка
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|
Аналитическая геометрия для «чайников»