3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса

Эллипс – это частный случай овала, и его строгое определение таково:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек , называемых фокусами эллипса, равна длине большой оси: . При этом расстояния между фокусами меньше этого значения .

Сейчас станет понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы будет равно 8. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, где хорошо видно, что:

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку…, отлично! – чертёж можно сдать на проверку ~~врачу~~ преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр фигуры.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

Вычисления простецкие:
, таким образом:

Внимание! Со значением нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат). Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты.

3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

3.3.1 Каноническое уравнение и построение эллипса

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин