3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение (греч. буква «эпсилон»), которое может принимать значения в пределах .

В нашем примере:

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины эллипса (грубо говоря, ширина эллипса будет оставаться постоянной). У рассматриваемого эллипса (см. рис. выше) большая полуось равна и формула примет вид .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . А что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные» отрезки «не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат.

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса «пошли навстречу друг другу», приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .

При этом отрезкам будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс всё больше похож…, смотрим на предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:
Окружность – это частный случай эллипса.

И действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который элементарно преобразуется к – хорошо известному из школьного курса уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: .

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная, равная . Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю.

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае уравнение удобно привести к бодрому «матановскому» виду:
– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего подставляем нужные значения «икс» и получаем «игреки».

Творческое задание для самостоятельного решения, а то как-то вы расслабились:)

Задача 97

Составить каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в начале координат, если известен один из его фокусов и малая полуось . Найти вершины, дополнительные точки и выполнить чертеж. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце книги

3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса

3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин