Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно к условию , загадка которого уже давно терзает пытливые умы. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс! И да, это действительно эллипс, развеем мистику:
В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса .

Запись!
– уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

Как быть, если такой вариант встретился на жизненном пути? В том случае, если вам предложено построить эллипс, то, наверное, лучше построить его в нестандартном виде. С вершинами и дополнительными точками, думаю, трудностей не возникнет. Но если требуется найти фокусы, эксцентриситет и т.д., то настоятельно рекомендую начать (или продолжить после чертежа) решение примерно так:
«Повернём эллипс на 90 градусов и перепишем его уравнение в каноническом виде » – дальше по обычной схеме.
Впрочем, эрудиты могут встать на скользкий путь путаницы, модифицировав все расчёты с учётом поворота. Но всё равно не советую. Ведь эллипс можно повернуть и на другой угол =)

! Примечание: в теории принято поворачивать не саму фигуру, а оси! И если от вас требуется именно ПРИВЕСТИ уравнение к каноническому виду, то решение, строго говоря, следует оформить иначе: «Перейдём к новой прямоугольной системе координат , повернув координатные оси на 90 градусов против часовой стрелки, и запишем уравнение эллипса в каноническом виде: ».

В практических задачах чаще встречается параллельный перенос эллипса:

Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «бэ» и центром симметрии в точке .

Изобразим на чертеже эллипс . Согласно формуле, и наш подопытный эллипс вполне комфортно «устроился» в точке .
Значения остались прежними, а вот фокусы, разумеется, «уехали» вместе с эллипсом, и их координаты придётся находить с поправкой на соответствующие сдвиги (расчёты справа):

Здесь всё обходится значительно проще, чем при повороте, и если по условию не нужно приводить уравнение к каноническому виду, то лично я предпочту оставить его в виде . Что делать, если приводить нужно? «Чайникам» в большинстве случаев простят фразу: «Осуществим параллельный перенос эллипса в начало координат и перепишем уравнение в каноническом виде: ». Но строгий подход предполагает параллельный перенос не самой фигуры, а координатных осей! Поэтому людям, изучающим математику углублённо, гораздо лучше сказать примерно следующее: «С помощью параллельного переноса системы перейдём к новой прямоугольной системе координат с началом в точке , и запишем уравнение эллипса в каноническом виде ».

На самом деле с упрощённой версией рассматриваемой формулы мы знакомы ещё со школьных времён: уравнение задаёт окружность радиуса с центром в точке .

Освежая ностальгические воспоминания, изобразим на чертеже окружность, заданную уравнением :
В исследовательских целях приведём это уравнение к общему виду. Выполним возведение в квадрат по формулам и приведём подобные слагаемые:

– как правило, в таком обличье уравнение и встречается в природе.

И в практических задачах часто нужно выполнить обратное действие – выделить полные квадраты, «сконструировав» трёхчлены и применив формулы в обратном порядке: .
Выполняем это креативное задание самостоятельно:

Задача 98

Построить график линии, заданной уравнением

Решение и чертёж в конце книги.

На практике эллипс (как, впрочем, и другая линия) может быть одновременно повёрнут на любой угол относительно своего канонического положения и перенесён в любую точку, отличную от начала координат. В таком случае решается более трудная версия задачи приведения линии 2-го порядка к каноническому виду, к которой я потихоньку начал вас готовить уже сейчас.

3.4.1. Гипербола

3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин