2.7. Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это система, составленная из линейных неравенств. …Обожаю такие определения :)

Что значит решить систему линейных неравенств? Ответ на этот вопрос зависит от количества переменных. У нас их две.

Решить систему линейных неравенств с двумя переменными – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат. Вспоминаем «рисунок двоечников», уменьшу его в размерах:
Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– и система задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно понятно, что «икс» не может быть одновременно больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может быть прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, это когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы, и это самый популярный вариант:

Задача 92

Решить систему линейных неравенств

Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно.

Решение: и то, что неравенств многовато, пугать не должно, главное придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)
2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полным боекомплектом»: . Так как прямые не самые простые, то сначала подбираем и указываем опорные точки для их построения:

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. В тетради его достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом. Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (можете для интереса проверить).
Хорошим тоном считается найти координаты вершин, здесь они очевидны. Однако не лишним будет составить систему и убедиться, что точка - не фейк

Ответ: многоугольник с вершинами .

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 93

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

А вот здесь для нахождения некоторых вершин уже придётся решать системы, поскольку координаты точек не очевидны. И это, кстати, хороший способ проверить правильность чертежа. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения, но это не принципиально, главное, правильно определить и построить область.

Не удивляйтесь, что все неравенства нестрогие – именно они часто используются в прикладных задачах, например, в задачах линейного программирования.

2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?

2.6. Линейные неравенства

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин