Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

2.6. Линейные неравенства

Уравнение хорошо, а неравенство – не хуже.

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки. Даже стрелочки для вас забыл:))
Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением – «игрек» всегда (при любом «икс») равен нулю.

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично, неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат та же самая прозаичная история:

– неравенство задаёт правую полуплоскость;
– неравенство задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство задаёт левую полуплоскость;
– неравенство задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных, «игрек»:

или «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, и мы разберём оба подхода. Попутно вспомним «школьные» действия с неравенствами, которые во многом напоминают действия с уравнениями:

Задача 86

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (+ саму прямую, если неравенство нестрогое).

Решение, как правило, графическое, удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:

а) Решим неравенство

Способ первый весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».
Для этого переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:
и умножаем обе части неравенства на :

Теперь чертим прямую (синий пунктир).

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому условию удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Эту полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Сама прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие прямой , не удовлетворяют неравенству .

Способ второй, универсальный. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение удобно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, неправда), значит, точка не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило:

– Если какая-либо точка, не принадлежащая прямой, не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки этой полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.

– Если какая-либо точка, не принадлежащая прямой, удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки этой полуплоскости удовлетворяют данному неравенству

Можете протестировать: любая точка справа от прямой вместе с проверенной точкой не будет удовлетворять неравенству .

Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Способ первый. Преобразуем неравенство, чтобы получить слева «игрек»:

и специфичное для неравенств правило, которое помнят далеко не все:

Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный (например, если было , то станет ; если было , то станет ).

Умножим обе части неравенства на :

Начертим прямую (красный цвет на чертеже), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое и прямая заведомо принадлежит решению.

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Нужная полуплоскость штрихуется либо помечается стрелочками.

Способ второй. Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой, например, и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют этому неравенству. Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красными стрелочками на чертеже выше.

Лично мне нравится больше первый способ решения, хотя второй, на мой взгляд, чуть проще.

Задача 87

Решить линейные неравенства:

Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). Чертёж с графическим решением в конце книги.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам ~~придётся на них жениться~~ не составит труда быстро решить простейшие неравенства вроде и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

(как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым)

Во всех перечисленных случаях используется универсальный метод решения с подстановкой точки:

Задача 88

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение:
а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство у нас строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставляем её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству .

Таким образом, решением неравенства будет другая полуплоскость, помечаем её синими стрелочками:
б) Решим неравенство . Сначала построим прямую – это каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим «сплошняком», так как неравенство у нас нестрогое.

Выберем произвольную точку, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, оно не годится. Что выбрать? Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство, значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Помечаем решение красными стрелочками, кроме того, в него входит сама прямая .

Задача 89

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Тренируемся! – примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

Разберём обратную задачу:

Задача 90

а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Здесь нет надобности в чертеже и решение чисто аналитическое:

а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство нестрогое:

б) Составим многочлен и вычислим его значение в точке . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, поэтому неравенство строгое: .

Ответ:

Творческая задача для самостоятельного решения:

Задача 91

Среди точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от прямой

Аналитическое решение и ответ в конце книги.

2.7. Системы линейных неравенств

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин