2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

И вот вам, кстати, геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые. И реже:
– если система несовместна (без решений), то прямые параллельны;
– если , то прямые совпадают, то есть, фактически нам дано не два, а одно уравнение.

Задача 77

Найти точку пересечения прямых

Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Искомая точка: .

Для проверки следует подставить её координаты в уравнение каждой прямой, они должны подойти и там, и там. Графический способ, конечно, неплох, но существует и заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему, уравнения проще всего сложить почленно:

Ответ:

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы. К слову, этой задачей мы заодно рассмотрели графический способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задача 78

Найти точку пересечения прямых , если известны координаты точек

Это задача для самостоятельного решения, которое удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что нужно:

1) составить уравнение прямой ;
2) составить уравнение прямой ;
3) выяснить взаимное расположение прямых ;
4) если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

В первой части параграфа мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, и сейчас избушка на курьих ножках разворачивается на 90 градусов:

2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин