3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы

Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: .

Теперь рассмотрим уравнение , которое, очевидно, тоже задаёт гиперболу. Однако и оно не имеет отношения к исходному уравнению! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами на оси ординат.

И, наконец, оставшийся четвёртый случай задаёт нашу гиперболу , повёрнутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась такая неканоническая запись?

Если требуется только построить кривую, то строим её именно в таком, неканоническом виде. Это довольно просто. Уравнения асимптот гиперболы обладают обратными угловыми коэффициентами: .
Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы:

и найдём несколько дополнительных точек:
Отметим на чертеже найденные точки, симметричные им точки и аккуратно соединим их линиями.

Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа.
Это то, что касаемо построения. Если же по условию требуется найти фокусы, эксцентриситет и т.д., то уравнение лучше привести к каноническому виду. Напоминаю, что это можно сделать двумя способами. Способ первый, «чайниковский»: повернём гиперболу на и запишем уравнение в каноническом виде: . Способ второй, строгий: перейдём к системе координат , которая получена поворотом системы на радиан против часовой стрелки, и запишем уравнение гиперболы в новой системе:

Параллельный перенос гиперболы доставляет заметно больше хлопот, чем таковой у эллипса. Но уравнение похоже: – оно задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой полуосью «бэ» и центром в точке .

Так, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам: ,
.
Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса:

Если уравнение нужно привести к каноническому виду, то способы аналогичны:
по «чайниковски»: осуществим параллельный перенос гиперболы в начало координат и запишем её уравнение в виде ;
и по строгости: осуществим параллельный перенос системы координат в точку и запишем уравнение гиперболы в системе : .

3.5.1. Парабола

3.4.4. Равносторонняя гипербола

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин