3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы
Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в
полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный
трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: .
Теперь рассмотрим уравнение , которое, очевидно, тоже задаёт
гиперболу. Однако и оно не имеет отношения к исходному уравнению! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами на оси ординат.
И, наконец, оставшийся четвёртый случай задаёт нашу гиперболу , повёрнутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась
такая неканоническая запись?
Если требуется только построить кривую, то строим её именно в таком, неканоническом виде. Это довольно просто. Уравнения
асимптот гиперболы обладают обратными угловыми
коэффициентами: .
Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы:
 
и найдём несколько дополнительных точек:
Отметим на чертеже найденные точки, симметричные им точки и аккуратно
соединим их линиями.
Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа.
Это то, что касаемо построения. Если же по условию требуется найти фокусы, эксцентриситет и т.д., то уравнение лучше привести к каноническому виду. Напоминаю, что это можно сделать двумя способами. Способ первый,
«чайниковский»: повернём гиперболу на и запишем
уравнение в каноническом виде: . Способ второй,
строгий: перейдём к системе координат , которая получена поворотом
системы на радиан против часовой стрелки, и запишем уравнение гиперболы в новой системе: 
Параллельный перенос гиперболы доставляет заметно больше хлопот, чем таковой у эллипса. Но уравнение
похоже: – оно задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой
полуосью «бэ» и центром в точке .
Так, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам: ,
.
Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса:

Если уравнение нужно привести к каноническому виду, то способы
аналогичны:
по «чайниковски»: осуществим параллельный перенос гиперболы в начало координат и запишем её уравнение в виде ;
и по строгости: осуществим параллельный перенос системы координат в точку и запишем уравнение
гиперболы в системе : .
3.5.1. Парабола
3.4.4. Равносторонняя гипербола
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|