Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



3.5.1. Парабола – построение, каноническое уравнение,
определение, фокусы, директриса, эксцентриситет


Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где  – действительное число. Нетрудно понять, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция  задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция  – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться, разберём всё в одной задаче:

Задача 101

Построить параболу

Решение: вершина параболы очевидна, найдём дополнительные точки. Уравнение  определяет верхнюю дугу параболы, уравнение  – нижнюю дугу. Вычисления удобно провести «под одной гребёнкой» :

Отмечаем найденные точки на чертеже и аккуратно соединяем их линией:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки  и данной прямой , не проходящей через точку .

Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки  параболы длина отрезка  (расстояние от точки до фокуса) равна длине перпендикуляра  (расстоянию от точки до директрисы):

Точка  называется фокусом параболы, а прямая  – директрисой параболы (пишется с одной «эс»).

Константа «пэ» канонического уравнения  называется фокальным параметром параболы, в данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .

В нашем примере: .

Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие!

Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.

Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика  будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси

Эксцентриситет любой параболы равен единице:

3.5.2. Поворот и параллельный перенос параболы

3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.