3.5.2. Поворот и параллельный перенос параболы

Парабола – одна из самых распространённых линий, и строить её придётся действительно часто. Поэтому отнеситесь к этому параграфу особо внимательно, поскольку я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

! Примечание: как и с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но я ограничусь упрощённым вариантом изложения, чтобы у вас сложились элементарные представления об этих преобразованиях.

1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положения. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.

На следующем чертеже изображены графики парабол :
Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: .

Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны!

Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу и разобрать каноническое уравнение , но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр , и чертёж с точкой фокуса и директрисой был бы немножко лилипутским :)

2) Параллельный перенос параболы. Без всякой оригинальности. Уравнение задаёт ту же параболу с вершиной в точке . По моим наблюдениям, во многих задачах математического анализа популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».

Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:

Задача 102

Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.
Как лучше действовать?

По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Задачи 101 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями .

Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать именно в каноническом положении!

Решение и ответ в конце книги.

3.6. Неравенства с линиями второго порядка

3.5.1. Парабола

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин