Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.7. Задачи с линиями второго порядка

Сначала вспомним – какие задачи мы уже решали?

– на построение линий;
– на нахождение вершин, фокусов, эксцентриситета и других «атрибутов»;
– начали рассматривать важнейшую задачу на приведение уравнения линии к каноническому виду.

И сейчас мы научимся решать ещё одну популярную задачу, которая часто встречается в самостоятельных и контрольных работах:

– Найти геометрическое место точек (или составить уравнение множества точек), каждая из которых удовлетворяет определённым аналитическим условиям.

Безусловно, данная формулировка является общей и не факт, что в итоге должна получиться обязательно линия, и обязательно второго порядка. Однако в контексте рассматриваемой темы сии магические слова практически всегда вызывают к жизни уравнение окружности, эллипса, гиперболы либо параболы.

Кстати, такие задачи вроде есть и в школьной программе, по крайне мере, в факультативном курсе:

Задача 103

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки . Определить тип линии и выполнить чертёж.

Решение такой задачи всегда начинается стандартно – в рассмотрение вводится точка с переменными координатами, которая принадлежит искомой линии. Таким образом, наша аналитическая формулировка конкретизируется следующим образом: Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки .

Расстояние между двумя точками – это длина соответствующего отрезка, и мы используем элементарную формулу длины отрезка:

– расстояние между точками – это длина ;

– и между точками – длина .

Теперь нужно составить уравнение. Согласно условию, расстояние в два раза больше расстояния , следовательно, справедливо равенство:

или:

Уравнение успешно составлено, но какую линию оно задаёт – совершенно не понятно. Поэтому дальнейшие действия состоят в упрощении полученной конструкции, и сейчас мы ознакомимся с типовым техническим алгоритмом.

Во-первых, избавимся от корней. Для этого возведём в квадрат обе части:

Далее, пользуясь формулами , раскроем все скобки:

перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые:

замечаем, что каждое слагаемое можно разделить на –3 – именно на «минус три», чтобы первый коэффициент (при «икс квадрат») был положительным:
– именно на «– 3

Получено уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Уже лучше, однако, и оно как неведома зверушка. А нам нужно определить тип линии.
Поэтому уравнение следует привести если не к каноническому, то к близкому виду. Искусственным приёмом выделяем полные квадраты, чтобы воспользоваться формулами :

– здесь не лишним будет раскрыть скобки и убедиться, что получилось исходное уравнение .

И завершающим штрихом рождаем квадрат в правой части:
– уравнение окружности с центром в точке радиуса . Возьмём в руки остроногого друга:
Проведём “любительскую”, но эффективную геометрическую проверку. По условию, для любой точки построенной линии расстояние должно быть в 2 раза больше расстояния . Мысленно выбираем наиболее удобную точку построенной окружности и убеждаемся в справедливости данного соотношения. В целях контроля можно взять ещё какую-нибудь точку и измерить длины обычной линейкой.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 104

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точек равна 20. Выполнить чертёж.

Итак, систематизируем порядок решения задачи:

На первом шаге необходимо рассмотреть точку с неизвестными координатами, которая принадлежит искомому множеству точек, и разобраться в условии задачи. Как правило, в нём говорится о расстояниях от точки «эм» до других точек и / или других линий, а также о соотношениях этих длин.

На втором шаге следует найти длины нужных отрезков и в соответствии с аналитическим условием задачи составить уравнение.

На третьем шаге осуществляем упрощение полученного уравнения. Сначала приводим его к общему виду, а затем к форме, которая близА к канонической. В некоторых задачах получается непосредственно каноническое уравнение.

На четвёртом шаге – чертёж и проверка. Чертеж, кстати, требуют далеко не всегда.

Кроме того, вас могут попросить продолжить:

На пятом шаге – приведение уравнения линии к каноническому виду.

На шестом – фокусы, асимптоты, эксцентриситет и т.д. Напоминаю, что находить их гораздо удобнее именно из канонической записи.

И мы обязательно продолжим тренироваться:

Задача 105

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых квадрат расстояния до точки на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат. Привести уравнение линии к каноническому виду.

Решение: прежде всего, вчитываемся и разбираемся в условии. Иногда его не удаётся осмыслить с первого раза, но 2-3 попытки должны помочь :) …Есть?
Итак, здесь речь идёт о расстояниях в квадрате, но это не влияет на алгоритм решения. Пусть точка принадлежит искомому множеству. Тогда:

Чему равно расстояние от точки до оси ординат? Можно воспользоваться стандартной формулой расстояния от точки до прямой, но если подключить логику и немного воображения, то легко понять, что расстояние от любой точки до оси равно модулю её «иксовой» координаты:

По условию, (квадрат расстояния) на 16 больше, чем , следовательно, справедливо следующее равенство:

(либо так: )

Таким образом:

Раскручиваем гайки:

«Икс квадрат» сокращается, и, очевидно, мы имеем дело с уравнением параболы:

– парабола с вершиной в точке и фокальным параметром , ветви параболы направлены вправо (в каноническом направлении).

! Словесный комментарий должен однозначно определять линию.

Теперь вторая часть задачи. Приведём уравнение линии к каноническому виду. И я снова не поленюсь, приведу оба способа:
1) Способ «чайниковский». Осуществим параллельный перенос параболы в начало координат, тогда её уравнение запишется в каноническом виде (на чертеже отсутствует).

2) Способ строгий. Перейдём к системе координат , которая получена параллельным переносом системы в точку . Тогда уравнение параболы примет вид: (в новой системе координат).
И я всё же рекомендовал бы вам второй способ – меньше потенциальных проблем. Впрочем, если спрос нестрогий, «прокатит» и первый. Скорее всего.

Ответ: искомое множество точек представляет собой параболу , каноническое уравнение: – в системе координат , полученной параллельным переносом системы в точку

Если дополнительно нужно найти фокус, директрису и другие характеристики, то пройдите по ссылке – там мы разобрали именно эту параболу. Кстати, по условию не требовалось строить чертежа, но я, конечно, исправил эту недоработку:)

Задача 106

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых расстояние до точки равно расстоянию до оси абсцисс. Выполнить чертёж. Привести уравнение к каноническому виду.

В образце решения последний пункт реализован обоими способами.

Усложняем задание:

Задача 107

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Сделать чертеж. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы (если они существуют).

Решение: пусть точка принадлежит искомому множеству точек. В задаче говорится о расстоянии: , а также о расстоянии от точки до прямой: .

По условию, для каждой точки отношение расстояния к расстоянию должно быть равно . А что такое отношение? Отношение – это пропорция, или попросту дробь:

Уравнение составлено, но его вид оставляет желать лучшего. Сначала избавимся от трёхэтажной дроби. Для этого знаменатель левой части (дробь) перекинем направо:

Сократим справа на :

и чтобы окончательно избавиться от дробей, «поднимем» тройку на левый берег:

Дальнейшие упрощения приобретают знакомые очертания. Возводим обе части в квадрат и раскрываем скобки:

Перенесём всё налево и причешем слагаемые:

Разделим обе части на 36:
, организуем трёхэтажные дроби:
и выполним деление (почему именно так – см. Задачу 99):
– эллипс с центром в начале координат, полуосями .

Обратите внимание, что такая формулировка однозначно определяет эллипс и добавлять что-то ещё излишне.

Изобразим найденный эллипс, точку и прямую :
Геометрическая проверка тут затруднена, но с другой стороны и не сверхъестественна. Возьмём какую-нибудь точку эллипса, проще всего рассмотреть .
Для неё ,
.
По условию, отношение должно равняться .
Проверим, так ли это: , что и требовалось проверить.

На практике можно выбрать любую точку эллипса, измерить расстояния линейкой, разделить на калькуляторе на и удостовериться, что получилось .

В данной задаче уравнение линии нарисовалось сразу в каноническом виде, что облегчает решение. Осталось разобраться с фокусами, эксцентриситетом, асимптотами и директрисами.

Очевидно, что у эллипса отсутствуют асимптоты.

Вычислим и запишем фокусы эллипса:

Первый фокус совпал с точкой .

Найдём эксцентриситет: . По ещё одному странному совпадению эксцентриситет оказался равен отношению . …Однако, совпадения ли это?

3.7.1. Директрисы эллипса

3.6. Неравенства с линиями второго порядка

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин