Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

6.5. Параболоиды

Их два. Сначала рассмотрим мегапопулярный

Эллиптический параболоид

Каноничный эллиптический параболоид задаётся уравнением (система координат, напоминаю, везде декартова) . Данная поверхность выглядит бесконечной чашей:
Название «эллиптический параболоид» тоже произошло из результатов исследования сечений. В горизонтальных сечениях плоскостями получаются различные эллипсы:
, в частности, при эллипс вырождается в точку (начало координат), которая называется вершиной эллиптического параболоида.

А вертикальные сечения плоскостями, параллельными оси , представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .
и сечение плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .

Отсюда и эллиптический параболоид.

На практике обычно встречается упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями-окружностями. Перепишем каноническое уравнение в прикладном функциональном виде: – характерным признаком этой функции, как и в ситуации с конусом, является равенство коэффициентов при .

Задача 178

Построить поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического параболоида.

Решение: используем ту же методику, что и при построении конической поверхности. Рассмотрим какое-нибудь не очень большое значение «зет», здесь удобно выбрать , и найдём сечение эллиптического параболоида этой плоскостью:
– окружность радиуса 2.

Теперь на высоте изобразим данную окружность и аккуратно соединим её с вершиной (началом координат) двумя параболами. В результате получится такая вот симпатичная чашка:

Рассматриваемый частный случай параболоида с сечениями-окружностями называют параболоидом вращения, поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси

С неравенствами ничего нового. Нетрудно догадаться, что неравенство или, если развернуть запись в более привычном порядке, определяет множество точек внутри чаши (т.к. неравенство строгое, то сама поверхность не входит в решение). И, соответственно, неравенство задаёт множество внешних точек.

По моим наблюдениям, на практике часто встречается эллиптический параболоид вида , который выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку .

Ещё одно типичное расположение эллиптического параболоида:

Задача 179

Построить поверхность

Решение: если коэффициенты при отрицательны (сразу оба), то чаша параболоида «смотрит вниз». Вершина поверхности расположена в точке . Это понятно не только интуитивно, но и подкрепляется простым аналитическим рассуждением: очевидно, что, рассмотрев любую другую пару значений , мы уменьшим функцию . Таким образом, точка – это самая высокая точка (максимум).

В целях построения поверхность удобно «отсечь» плоскостью . Сечение представляет собой:
– окружность радиуса 2.

Отмечаем точку , проводим окружность на высоте и аккуратно завершаем конструкцию 4 направляющими (ветвями параболы).

Творческое задание для самостоятельного решения:

Задача 180

Построить эллиптический параболоид

Теперь менее распространённый «собрат»:

Гиперболический параболоид

Его каноническое уравнение имеет вид . Данную поверхность также называют седловой поверхностью, а всадники – седлом:

Если его рассекать плоскостями , то в общем случае будут получаться гиперболы , а при мы получим две пересекающиеся прямые: (на чертеже отсутствуют). Таким образом, гиперболический параболоид пересекает плоскость по двум прямым.

Если его рассекать плоскостями (параллельными плоскости ), то в сечениях будут получаться параболы , ветви которых направлены вверх, и множество таких парабол легко увидеть на чертеже.

И, наконец, если параболоид рассекать плоскостями (параллельными плоскости ), то в сечениях будут получаться параболы , ветви которых смотрят вниз, эти параболы тоже есть на чертеже.

Таким образом, происхождение гиперболического параболоида полностью расшифровано.

Как и конус, как и «чаша», седло симметрично относительно плоскостей и относительно оси . Рассмотрю один демонстрационный пример:

Задача 181

Построить тело, ограниченное поверхностями .

Решение: найдём линии пересечения параболоида с плоскостью . Слева и справа тело ограничено плоскостями , и ввиду его симметрии достаточно рассмотреть пересечение параболоида с плоскостью :
– изобразим эти параболы в плоскостях . Осталось «замкнуть» чертёж сверху, для этого найдем пересечение параболоида с фронтальной плоскостью – изобразим эту параболу в плоскости . Заметьте, что здесь под седлом скрылась ось , т.к. уравнение неканоническое.

6.6. Гиперболоиды

6.4. Коническая поверхность

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин