6.6. Гиперболоиды

Их тоже два, и это тоже нечастые гости в массовой практике:

Однополостной гиперболоид

имеет каноническое уравнение , числа называют полуосями гиперболоида. Если его рассекать плоскостями , то будут получаться эллипсы: , которые неограниченно увеличиваются, когда мы уходим по оси вверх или вниз к бесконечности. Эллипс, лежащий в плоскости : называется горловым эллипсом, он самый маленький и хорошо просматривается на чертеже.

Если рассекать поверхность плоскостями, параллельными плоскостям , то в сечениях будут получаться гиперболы:

и эти гиперболы хорошо видны на поверхности. А посему и «гиперболоид».

Однополостной гиперболоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, осей и начала координат.

Если , то мы имеем дело с гиперболоидом вращения: – он получен вращением гиперболы вокруг оси . Горизонтальные же сечения представляют собой окружности, в чём мы убедимся на конкретном примере:

Задача 182

Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение: найдём пересечение гиперболоида с плоскостью : – горловая окружность радиуса 1. Найдём пересечение с плоскостью :
– окружность с центром в точке радиуса .

Изобразим на чертеже обе окружность и соединим их направляющими – 4 ветвями гиперболы.

Такой вот получился симпатичный горшок. …А вверху у меня чертёж, к слову, ассоциируется с унитазом :)

Двуполостной гиперболоид

имеет похожее каноническое уравнение . Поверхность представляет собой 2 бесконечные чаши с вершинами :

Для двуполостного гиперболоида справедливы почти все утверждения, что и для однополостного. Горизонтальные сечения плоскостями представляют собой эллипсы, а вертикальные – гиперболы. Но, естественно, тут нет горлового эллипса. Однако в плане симметрии всё так же.

Вообще, оба типа поверхностей можно назвать эллиптическими гиперболоидами, но это название не учитывает различие между ними. И поэтому их различают по количеству полостей – у предыдущего одна полость, а у этого – две.

И да, частный случай: – есть гиперболоид вращения.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 183

Построить тело, ограниченное поверхностями

С поверхностями всё! Теперь пару ласковых о координатах.

Как вы заметили, во всех случаях у нас фигурировала прямоугольная система координат, но в некоторых задачах бывают выгодны другие системы:

6.7.1. Цилиндрическая система координат

6.5. Параболоиды

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин