Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»



5.2.1. Как составить уравнение плоскости
по точке и двум неколлинеарным векторам?


Конструировать уравнение будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность.

Казалось бы, плоскость можно однозначно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но нет – векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка:

Уравнение плоскости, которая проходит через точку  параллельно неколлинеарным векторам , выражается формулой:

! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.

Принципиально ситуация выглядит так:
Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость однозначно (они будут «вертеться» вокруг точки и зададут целый «пучок» плоскостей).

 

Задача 130

Составить уравнение плоскости по точке  и неколлинеарным векторам .

Решение: искомое уравнение составим по формуле:

Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

Раскрываем определители второго порядка:

На первом месте у нас нарисовался знак «минус», и хорошим тоном считается его убрать (точно так же, как и у общего уравнения «плоской» прямой).

Меняем у каждого слагаемого знак и проводим дальнейшие упрощения:

, сократить здесь ничего нельзя, поэтому:

Ответ:

Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но мы обязательно выполним её чуть позже. Решаем самостоятельно:

Задача 131

Составить уравнение плоскости по векторам  и принадлежащей ей точке .

Кстати, если векторы коллинеарны, то и на этот случай есть корректный ответ ;)

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

5.1.5. Уравнение плоскости в отрезках

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.