Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

6.3. Эллипсоид

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны. Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса. В зависимости от значений эллипсоид может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.

Если две полуоси совпадают, то данную поверхность / тело называют эллипсоидом вращения. Так, например, эллипсоид получен вращением эллипса вокруг оси (представьте мысленно).

Небольшая задачка для самостоятельного решения:

Задача 173

Построить эллипсоид . Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение.

Чертеж с комментариями в конце книги.

В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу:
– данное уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса .

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса . И, соответственно, противоположному условию удовлетворяют координаты любой внешней точки.

Разделаемся с аппетитным Колобком:

Задача 174

Построить поверхность . Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки .

Решение: уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2. Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, удобно уменьшить масштаб чертежа:

Выразим «зет»: , после чего уравнение распадается на две функции:
– задаёт верхнюю полусферу;
– задаёт нижнюю полусферу.

Область определения функции – это её ортогональная проекция на плоскость . Очевидно, что областью определения наших функций является круг с центром в начале координат радиуса 2.

Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек в данное неравенство:

1)

– получено неверное неравенство, следовательно, точка «дэ» лежит вне шара.

2)

– получено верное неравенство, значит, точка «эф» принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 175

Найти область определения функции двух переменных и построить соответствующую поверхность.

Решение и ответ в конце книги.

Кстати, наша планета, кто не знает, имеет форму эллипсоида. Чуть-чуть-чуть, но Земля – таки не шар.

6.4. Коническая поверхность

6.2. Цилиндрические поверхности

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин