5.1.3. Линейные неравенства в пространстве

Если уравнение задаёт плоскость пространства, то неравенства определяют полупространства. Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в его решение кроме полупространства входит и сама плоскость.

Как и для линейных неравенств плоскости, справедлив аналогичный принцип: если одна точка полупространства удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки этого полупространства удовлетворяют данному неравенству.

Читайте примеры и посматривайте на ту же систему в тетради:

1) . Как понимать это неравенство? «Икс» и «зет» могут быть любыми, а вот «игрек» всегда больше либо равно нулю. Данное неравенство определяет правое полупространство; так как оно нестрогое, то координатная плоскость входит в решение.

2) – «игрек» и «зет» могут быть любыми, а вот «икс» строго меньше нуля. Неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, и ввиду его строгости, координатная плоскость не входит в решение.

3) Сначала мысленно начертим плоскость – данная плоскость параллельна «родной» координатной плоскости и расположена на высоте (на 2 единицы выше плоскости ). При любых «икс» и «игрек» – «зет» меньше либо равно двум. Поэтому неравенство определяет нижнее полупространство + саму плоскость .

4) – мысленно представляем «прямую пропорциональность» – плоскость, которая проходит через ось . И если «игрек» должен быть больше, чем «икс» («зет» – любое), то этому условию соответствуют все точки дальнего от нас полупространства, при этом плоскость не входит в решение.

5) Дана плоскость . Я специально подобрал плоскость, которая «высекает» треугольник в первом октанте (такой, как на чертеже выше). Требуется строгим неравенством задать полупространство, которое содержит начало координат.

Решение: составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в начале координат: , таким образом, искомое неравенство: .

Система линейных неравенств определяет некоторую область пространства. Она может быть ограниченной или не ограниченной. Любая точка области решений обязательно удовлетворяет каждому неравенству системы. Так, система:
– определяет первый координатный октант, и любая точка этого октанта удовлетворяет каждому неравенству системы (т.к. имеет положительные координаты). Это пример неограниченной области решения.

Пространственное понимание уравнений и неравенств крайне полезно не только в аналитической геометрии, но и для решения других задач высшей математики. И поэтому мы прямо сейчас закрепим эту чрезвычайно важную тему:

5.1.4. Как построить плоскость?

5.1.2. Общее уравнение плоскости

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин