Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

5.1.2. Общее уравнение плоскости

В аффинной системе координат общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю. В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси, например, так: (для простоты рассмотрим привычную систему ).

Вот, кстати, ещё одно графическое представление плоскости – треугольник.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Изобразите в тетради декартову систему координат (пустую) и мысленно представляйте плоскости, о которых пойдёт речь ниже. Обязательно! – это ОЧЕНЬ важно для качественного понимания всего дальнейшего курса!!!

Начнём с простейших случаев:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам фиолетово, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости (осмысливаем почему!);
– уравнение координатной плоскости (осмысливаем почему!).

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Так, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна плоскости ();
– уравнение плоскости, которая параллельна плоскости .

Осмысливаем! И добавляем членов: . Это уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое «прочерчивает» в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна оси (почему?);
– уравнение плоскости, которая параллельна оси (почему?).

Если свободные члены нулевые, то эти плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: плоскость проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже выше: – данная плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов (координатные плоскости системы делят пространство на 8 равных частей – октантов).

И пока у вас разогретое пространственное воображение :), совсем кратко о линейных неравенствах, хотя по логике изложения, они здесь немного не к месту:

5.1.3. Линейные неравенства в пространстве

5.1.1. Понятие плоскости в пространстве

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин