5.1.4. Как построить плоскость?
Несмотря на обилие программ и онлайн сервисов, ручное построение чертежей сохранит актуальность и через много лет, хотя бы потому, что позволит
учащимся качественно усвоить материал. Что нужно знать и уметь в самых суровых условиях?
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно обозначают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят,
как параллелограммы. Размеры выбираем разумные, при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась
центром симметрии:

! Все помнят неформальный смысл этих уравнений?
Повторим заодно и неравенства:
– неравенство (левый чертёж) задаёт дальнее от нас полупространство,
исключая саму плоскость ;
– неравенство (чертёж посередине) задаёт правое полупространство,
включая плоскость ;
– двойное неравенство (правый чертёж) задаёт «слой», расположенный
между плоскостями , включая обе плоскости.
Задача 124
Изобразить тело, ограниченное плоскостями , составить систему неравенств,
определяющих данное тело.
Это задание для самостоятельного решения. Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте,
что невидимые рёбра и грани следует прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце книги.
НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами!
Особенно, если они кажутся простыми
А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере.
Причём, несложный.
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
1) уравнение вида (здесь и далее ) задаёт плоскость, проходящую через ось ;
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Задача 125
Построить плоскость 
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем
значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую, лежащую в этой плоскости. Данная прямая
проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую:
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая
непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить
чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и
поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм.
И ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не
принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
– получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Задача 126
Построить плоскости
а) , б) .
Это задания для самостоятельного решения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце книги.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный
случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Задача 127
Построить плоскость 
Решение: в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость
параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде , из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её
построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую
плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины.
5.1.5. Уравнение плоскости в отрезках
5.1.3. Линейные неравенства в пространстве
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|