Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.5.6. Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим пару точек (плоскости или пространства) и отрезок :

Что будем с ним делать? На это раз пилить. Точкой :

В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .

На сухом математическом языке этот факт записывают пропорцией или чаще в виде привычной дроби: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .

Пропорцию можно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.

Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:

Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .

Формулы деления отрезка в данном отношении:

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

В пространственном случае и добавляется дополнительная координата:
.

Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы выводятся с помощью векторов (куда ж теперь без них? =)).

Задача 11

Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки

Решение: по умолчанию, отсчёт начинается от первого конца отрезка: . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :

Ответ:

Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате чего часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби (см. Приложение Школьные материалы) и проводим окончательные упрощения.

В задаче не требуется строить чертежа, но его полезно выполнить на черновике:

– чтобы убедиться в том, что соотношение действительно выполнено, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если длины не очевидны, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.

Существует и второй способ решения: в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (иными словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:

Ответ:

Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё. Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Так, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция , и так далее.

Задача 12

а) Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если . Выполнить проверку.
б) Даны точки . Найти точку , делящую отрезок в отношении .

Удачного распила!

1.5.7. Формулы координат середины отрезка

1.5.5. Как найти единичный вектор?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин