6.1. Понятие алгебраической поверхности

Здесь будет прослеживаться очевидная аналогия с «плоскими» линиями.

Поверхность называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат её уравнение представляет собой многочлен с членами , где – действительное число, – целые неотрицательные числа. Других членов нет.

Максимальное значение суммы называют порядком поверхности.

Очевидно, что плоскость – это алгебраическая поверхность первого порядка, и любая алгебраическая поверхность первого порядка – есть плоскость.

Алгебраическая поверхность второго порядка имеет вид:
, где все коэффициенты действительны и не равны нулю одновременно.

Здесь вариантов больше. Все поверхности 2-го порядка можно разделить на несколько групп: цилиндры, конические поверхности, эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды. Но мы, конечно, не будем изучать их досконально, и тем более приводить к каноническому виду :)

Наша цель прежняя – решение распространённых прикладных задач. После изучения этой главы вы научитесь определять тип поверхности по около- и каноническому уравнению, представлять её в функциональном виде , решать простейшие задачи и самое главное, строить поверхности от руки. Кроме того, будет краткая информация о цилиндрической и сферической системе координат.

Что нужно уметь на данный момент? Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (далее она подразумевается по умолчанию).

Во-вторых, необходимо уметь откладывать точки в этой системе координат, о чём я достаточно подробно рассказал в пункте 14 предыдущего параграфа.

…Есть? Начинаем!

На практике поверхность, как правило, задаётся уравнением либо функцией двух переменных .

Первый способ больше характерен для алгебры и геометрии, второй – для математического анализа. Уравнение также называют неявно заданной функцией двух переменных, которую во многих задачах нетрудно представить в явном виде: .

Так, уравнение плоскости легко привести к явному функциональному виду , если .
И мы расширяем свой кругозор:

6.2. Цилиндрические поверхности

5.7. Задача с треугольной пирамидой

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин