2.2.2. Как составить уравнение прямой
по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой , то уравнение данной прямой можно составить по формуле:

Иногда его называют каноническим уравнением прямой.

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты равняться нулю не могут, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Задача 61

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: Используем формулу . В данном случае:

С помощью свойств пропорции* (Школьные материалы) избавляемся от дробей:
(* технически здесь также можно умножить обе части на 2)
и приводим уравнение к общему виду:

Ответ:

Чертежа в таких примерах делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую .

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы ни выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .